[이코테] 다이나믹 프로그래밍

📌 다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 함
• 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성됨

 

• 다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부름
• 일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까?
  • 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 필요한 메모리를 할당하는 기법'을 의미
  • 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어

 

• 다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있음
  1.  최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
     • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있음
  2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
     • 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 함

---

📎 피보나치 수열 

• 피보나치 수열 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있음
  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
• 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미함

피보나치 수열을 점화식으로 표현

 

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))
# 3

⏰ 시간 복잡도

• 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 갖게 됨
• 세타 표기법: θ(1.618...^N)
• 빅오 표기법: O(2^N)
• 빅오 표기법을 기준으로 f(30)을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 합니다. 
• 그렇다면 f(100)을 계산하기 위해 얼마나 많은 연산을 수행해야 할까? 

📎 메모이제이션 (Memoization)

• 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나
• 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
  • 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옴
  • 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 함

 👊 탑다운 VS 보텀업

• 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 함
• 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식
  • 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부름
• 엄밀히 말하자면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미
  • 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아님
  • 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있음

📄 탑다운 다이나믹 프로그래밍 

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
	# 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
    	return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]
    
print(fibo(99))
 
# 218922995834555169026

•  

📄 보텀업 다이나믹 프로그래밍

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
	d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
    
print(d[n])

# 218922995834555169026

🔎 동작 분석

•  메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N)

d = [0] * 100

def fibo(x):
	print('f('+str(x)+')', end=' ')
    if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    if d[x] != 0:
    	return d[x]
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]
 
 fibo(6)
 
 # f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)

 👊 다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복

• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용 가능
  • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복임
  • 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됨
  • 분할 정복 문제에서는 동한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않음
• 분할 정복의 대표 예시인 퀵 정렬
  • 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않음
  • 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않음

🔎 다이나믹 프로그래밍에 접근하는 방법

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요
• 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토
  • 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려
• 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있음
• 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많음

---

✅ 문제 - 개미 전사

개미 전사는 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려 함
메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져있음
메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있음
따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량 창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 함
식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값은?

💡 해결 아이디어

• 번째 식량창고까지의 최적의 해(얻을 수 있는 식량의 최댓값)
• 번째 식량창고에 있는 식량의 양
• 점화식:
• 한 칸 이상 식량창고는 항상 털 수 있으므로 (i - 3)번째 이하는 고려할 필요가 없습니다.

📄 예시 답안

# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2, n):
	d[i] = max(d[i - 1], d[i - 2] + array[i])

# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])

✅ 문제 - 1로 만들기

정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지
  1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눔
  2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눔
  3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눔
  4. X에서 1을 뺌
정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절하게 사용해서 1로 만들고자 함
연산을 사용하는 횟수의 최솟값은?
ex) 정수가 26이면 3번의 연산이 최솟값 : 26 -> 25 -> 5 -> 1

💡 해결 아이디어

• 를 1로 만들기 위한 최소 연산 횟수
• 점화식:
• 단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어떨어질 때에 한해 점화식을 적용

📄 예시 답안

# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
	# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i - 1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 2 == 0:
    	d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우 
    if i % 3 == 0:
    	d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
    # 현재의 수가 5으로 나누어 떨어지는 경우 
    if i % 5 == 0:
    	d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)
        
print(d[x])

✅ 문제 - 효율적인 화폐 구성

N가지 종류의 화폐가 있음
화폐들의 개수를 최소한 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 함
M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수는?
ex) 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수임

💡 해결 아이디어

• = 금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수
• k = 각 화폐의 단위
• 점화식: 각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
  • 를 만드는 방법이 존재하는 경우,
  • 를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우,

📄 예시 답안

# 정수 N, M을 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
	array.append(int(input()))
    
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
	for j in range(array[i], m + 1):
    	if d[j - array[i]] != 10001: # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
        	d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)
 
# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
	print(-1)
else:
	print(d[m])

 

✅ 문제 - 효율적인 화폐 구성

n x m 크기의 금광이 있음
금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있고 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있음
채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작함
맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있음
이후에 m - 1번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 함
결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기는?

💡 해결 아이디어

• 금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지만 고려하면 됨
  
  1.  왼쪽 위에서 오는 경우
  2.  왼쪽 아래에서 오는 경우
  3.  왼쪽에서 오는 경우
• 세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해주어 문제를 해결함
• array[i][j] = i행 j열에 존재하는 금의 양
• dp[i][j] = i행 j열까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 금의 최댓값)
• 점화식은 다음과 같음
  • dp[i][j] = array[i][j] + max(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i + 1][j - 1])
• 이때 테이블에 접근할 때마다 리스트의 범위를 벗어나지 않는지 체크해야 함
• 편의상 초기 데이터를 담는 변수 array를 사용하지 않아도 됨
  • 바로 DP 테이블에 초기 데이터를 담아서 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있음

📄 예시 답안

# 테스트 케이스(Test Case) 입력
for tc in range(int(input())):
	# 금광 정보 입력
    n, m = map(int, input().split())
    array = list(map(int, input().split()))
    # 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
    dp = []
    index = 0
    for i in range(n):
    	dp.append(array[index : index + m])
       	index += m
    # 다이나믹 프로그래밍 진행
    for j in range(1, m):
    	for i in range(n):
        	# 왼쪽 위에서 오는 경우
            if i == 0: left_up = 0
            else: left_up = dp[i - 1][j - 1]
            # 왼쪽 아래에서 오는 경우
            if i == n - 1: left_down = 0
            else: left_down = dp[i + 1][j - 1]
            # 왼쪽에서 오는 경우
            left = dp[i][j - 1]
            dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
    result = 0
    for i in range(n):
    	result = max(result, dp[i][m - 1])
    print(result)

✅ 문제 - 병사 배치하기

N명의 병사가 무작위로 나열, 각 병사는 특정한 값의 전투력 보유
전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치하고자 함
앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 함
배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용
그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록

💡 해결 아이디어

• 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)
• 예를 들어 하나의 수열 array = {4,2,5,8,4,11,15}이 있음
  • 이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 {4,5,8,11,15}
• 본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용함으로써 정답을 도출 가능
• D[i] = array[i]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이
• 점화식은 다음과 같음
  • 모든 0<=j<i에 대하여, D[i] = max(D[i], D[j] + 1) if array[j] < array[i]
• 가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 뒤집음
• 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 수행하여 정답 도출

n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()

# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n 

# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
	for j in range(0, i):
    	if array[j] < array[i]:
        	dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
            
# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n - max(dp))