[이코테] 이진 탐색 알고리즘

📌 이진 탐색 알고리즘

• 순차 탐색: 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하는 방법
• 이진 탐색: 정렬되어 있는 리스트에서 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 방법
  • 이진 탐색은 시작점, 끝점, 중간점을 이용하여 탐색 범위를 설정

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⏰ 시간 복잡도

• 단계마다 탐색 범위를 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는 log₂N에 비례함
• 예를 들어 초기 데이터 개수가 32개일 때, 이상적으로 1단계를 거치면 16개가량의 데이터만 남음
  • 2단계를 거치면 8개가량의 데이터만 남음
  • 3단계를 거치면 4개가량의 데이터만 남음
• 다시 말해 이진 탐색은 탐색 범위를 절반씩 줄이며, 시간 복잡도는 O(logN)을 보장함

📄 재귀적 구현

# 이진 탐색 소스코드 구현 (재귀 함수)
def binary_search(array, target, start, end):
	if start > end:
    	return None
    mid = (start + end) // 2
    # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
    if array[mid] == target:
    	return mid
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
    elif array[mid] > target:
    	return binary_search(array, target, start, mid - 1)
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
    else:
    	return binary_search(array, target, mid + 1, end)
        
# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
	print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
	print(result + 1)
    
# 10 7 <-
# 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 <-
# 4

# 10 7 <-
# 1 3 5 6 9 11 13 15 17 19 <-
# 원소가 존재하지 않습니다.

📄 반복문 구현

# 이진 탐색 소스코드 구현 (반복문)
def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
    	mid = (start + end) // 2
        # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
        if array[mid] == target:
        	return mid
        # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
        elif array[mid] > target:
        	end = mid - 1
        # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
        else:
        	start = mid + 1
    return None

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
	print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
	print(result + 1)
    
# 10 7 <-
# 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 <-
# 4

# 10 7 <-
# 1 3 5 6 9 11 13 15 17 19 <-
# 원소가 존재하지 않습니다.

📎 파이썬 이진 탐색 라이브러리

• bisect_left(a, x): 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 왼쪽 인덱스를 반환
• bisect_right(a, x): 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 오른쪽 인덱스를 반환

from bisect import bisect_left, bisect_right

a = [1, 2, 4, 4, 8]
x = 4

print(bisect_left(a, x))
print(bisect_right(a, x))

# 2
# 4

 

 

값이 특정 범위에 속하는 데이터 개수 구하기

from bisect import bisect_left, bisect_right

# 값이 [left_value, right_value]인 데이터의 개수를 반환하는 함수
def count_by_range(a, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(a, right_value)
    left_index = bisect_left(a, left_value)
    return right_index - left_index
    
# 배열 선언
a = [1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 9]

# 값이 4인 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, 4, 4))

# 값이 [-1, 3] 범위에 있는 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, -1, 3))

# 2
# 6

📎 파라메트릭 서치(Parametric Search)

• 파라메트릭 서치란 최적화 문제를 결정 문제('예' 혹은 '아니오')로 바꾸어 해결하는 기법
  • 예시 : 특정한 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 빠르게 찾는 최적화 문제
• 일반적으로 코딩 테스트에서 파라메트릭 서치 문제는 이진 탐색을 이용하여 해결할 수 있음

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✅ 문제 - 떡볶이 떡 만들기

절단기에 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단함
높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않음
요청한 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값은? 

ex) 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것임. 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm임. 손님은 6cm만큼의 길이를 가져감

💡 해결 아이디어

• 적절한 높이를 찾을 때까지 이진 탐색을 수행하여 높이 H를 반복해서 조정하면 됨
• '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부('예' 혹은 '아니오')에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있음
• 절단기의 높이는 0부터 10억까지의 정수 중 하나
  • 이렇게 큰 탐색 범위를 보면 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 함
• 중간점의 값은 시간이 지날수록 '최적화된 값'이 되기 때문에, 과정을 반복하면서 얻을 수 있는 떡의 길이 합이 필요한 떡의 길이보다 크거나 같을 때마다 중간점의 값을 기록하면 됨

📄 예시 답안

# 떡의 개수(N)와 요청한 떡의 길이(M)을 입력
n, m = list(map(int, input().split(' ')))
# 각 떡의 개별 높이 정보를 입력
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색을 위한 시작점과 끝점 설정
start = 0
end = max(array)

# 이진 탐색 수행 (반복적)
result = 0
while(start <= end):
	total = 0
    mid = (start + end) // 2
    for x in array:
    	# 잘랐을 때의 떡의 양 계산
        if x > mid:
        	total += x - mid
   	# 떡의 양이 부족한 경우 더 많이 자르기 (왼쪽 부분 탐색)
    if total < m:
    	end = mid - 1
    # 떡의 양이 충분한 경우 덜 자르기 (오른쪽 부분 탐색)
    else:
    	result = mid # 최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기에서 result에 기록
        start = mid + 1
# 정답 출력
print(result)

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✅ 문제 - 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기

N개의 원소를 포함하고 있는 수열이 오름차순으로 정렬되어 있음
이때 이 수열에서 x가 등장하는 횟수는?
단, 이 문제는 시간 복잡도 O(logN)으로 알고리즘을 설계하지 않으면 시간 초과 판정
ex) 수열 {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}이 있을 때 x = 2라면, 현재 수열에서 값이 2인 원소가 4개이므로 4 출력

💡 해결 아이디어 

• 시간 복잡도 O(logN)으로 동작하는 알고리즘을 요구
  • 일반적인 선형 탐색(Linear Search)로는 시간 초과 판정
  • 하지만 데이터가 정렬되어 있기 때문에 이진 탐색을 수행 가능
• 특정 값이 등장하는 첫 번째 위치와 마지막 위치를 찾아 위치 차이를 계산에 문제를 해결

📄 예시 답안

from bisect import bisect_left, bisect_right

# 값이 [left_value, right_value]인 데이터의 개수를 반환하는 함수
def count_by_range(a, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(a, right_value)
    left_index = bisect_left(a, left_value)
    return right_index - left_index

n, x = map(int, input().split()) # 데이터의 개수 N, 찾고자 하는 값 x 입력받기
array = list(map(int, input().split())) # 전체 데이터 입력받기

# 값이 [x, x] 범위에 있는 데이터의 개수 계산
count = count_by_range(array, x, x)

# 값이 x인 원소가 존재하지 않는다면
if count == 0:
	print(-1)
# 값이 x인 원소가 존재한다면
else:
	print(count)